ทำไมค่า π จึงไม่ใช่ Rational Number\ Why is not π Rational Number

Rational Number หรือ จำนวนอัตราส่วน (ชื่อทางการคือ จำนวนตรรกยะ) คือจำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูป a/b ได้ โดยที่ทั้ง a และ b ต้องเป็นจำนวนเต็ม และ b ไม่เท่ากับศูนย์

ค่าพายคือ อัตราส่วนระหว่างเส้นรอบวงกลมต่อเส้นผ่าศูนย์กลางซึ่งเป็นค่าคงที่เสมอคิดเป็น 22/7 หรือ 3.14159265359 จะเห็นได้ว่าค่าพายสามารถเขียนอยู่ในรูป a/b ได้ แต่เหตุใด ค่าพายจึงไม่จัดให้เป็น Rational Number

คำตอบก็คือ จำนวนที่จัดว่าเป็นจำนวนอัตราส่วน จำนวนนั้นจะต้องพิสูจน์ว่าแปลงเป็น a/b ได้ ไม่ใช่ว่ามีค่า a และ b ที่ทำให้เกิดจำนวนนั้นหรือไม่

หรือถ้าเขียนให้เข้าใจง่ายกว่านั้นคือ

ให้ A เป็นจำนวน

A จะเป็นจำนวนอัตราส่วนถ้า A-> a/b ได้ ไม่ใช่ a/b -> A

ฉะนั้นการที่รู้ว่า 22/7 มีค่า 3.14159… จึงไม่ถือเป็นการพิสูจน์ว่า 3.14159… เป็น Rational Number

3.14159… จะจัดเป็น Rational Number ถ้า 3.14159… พิสูจน์ได้ว่าเป็น 22/7

ยกตัวอย่างตัวเลขที่พิสูจน์ว่าแล้วว่าเป็น Rational Number พร้อมวิธีพิสูจน์สองตัวคือ 45.765 กับ 43.77777…

อันดับแรกพิสูจน์ว่า 45.765 เป็นจำนวนอัตราส่วนโดยให้ A มีค่า 45.765 เป็นดังสมการที่ 1

คูณ 1000 ทั้งสองข้างในสมการที่ 1 เพื่อให้ 45.765 กลายเป็น 45765 ที่เป็นจำนวนเต็ม จะได้ผลลัพธ์เป็นสมการที่ 2

นำ 1000 มาหารทั้งสองข้างในสมการที่ 2 จะได้ผลลัพธ์เป็นสมการที่ 3 และเป็นข้อพิสูจน์ว่า 45.765 ในสมการที่ 1 เป็น 45765/1000 ในสมการที่ 3 และ เป็นข้อพิสูจน์ว่า 45.765 เป็นจำนวนอัตราส่วน

ถัดมาพิสูจน์ว่า 43.77777… เป็นจำนวนอัตราส่วน การพิสูจน์นี้ดูได้ที่ลิงค์นี้

สังเกตว่าการพิสูจน์เริ่มต้นที่จำนวน ก่อนที่จะเปลี่ยนรูปไป a/b ซึ่ง ค่าพายหรือ 3.14159… ไม่สามารถทำแบบนั้นได้ ด้วยเหตุนี้ ค่าพายจึงไม่จัดเป็นจำนวนอัตราส่วน

โดยความเป็นจริงยังมีอีกหลายวิธีในการพิสูจน์ว่าค่าพายไม่ใช่จำนวนอัตราส่วน แต่มีความยุ่งยากเกินไปจึงไม่ขอกล่าวถึงในที่นี้หรืออาจกล่าวถึงในภายหลัง