พิสูจน์ว่าจำนวนมีทศนิยมหลักไม่จำกัดแบบวนซ้ำเป็น Rational Number

Rational Number หรือ จำนวนอัตราส่วน (ชื่อทางการคือจำนวนตรรกยะ) คือจำนวนที่สามารถพิสูจน์ได้ว่าเปลี่ยนให้อยู่ในรูป a/b ได้ โดยที่ a และ b เป็นจำนวนเต็ม (Integer Number) และ b ไม่เท่ากับศูนย์

จำนวนทศนิยมหลักจำกัด เช่น 5.23, -6.89, 0.653 ถือเป็นจำนวนอัตราส่วนโดยดูจากลิงค์นี้

ส่วนจำนวนทศนิยมหลักไม่จำกัดเช่น 5.2738742937… ไม่ถือเป็นจำนวนอัตราส่วน แต่มีข้อยกเว้น คือ ถ้าส่วนทศนิยม (Fractional Part) มีการวนซ้ำ เช่น 43.77777… หรือ -0.661661661… จะถือว่าจำนวนนั้นเป็นจำนวนอัตราส่วน

การพิสูจน์

การพิสูจน์ว่า 43.77777… สามารถเปลี่ยนรูปเป็นอัตราส่วนได้ เริ่มโดยการให้ A มีค่าเท่ากับ 43.77777… เป็นสมการที่ 1

นำ 10 คูณทั้งสองข้างในสมการที่ 1 จะได้สมการที่ 2

นำสมการที่ 2 และ 1 มาลบกัน จะได้สมการที่ 3

ผลลัพธ์จากการนำ 437.7777… ลบด้วย 43.7777 เนื่องจาก Fraction Part ของเลขทั้งสองตัวเป็น 7 ที่มีจำนวนหลักเป็นอนันต์ด้วยกันทั้งคู่จึงหักลบกันหมดเหลือแต่ส่วนที่เป็นจำนวนเต็ม 394 จากนั้นนำ 9 มาหารทั้งสองข้าง จะได้สมการที่ 4

สังเกตได้ว่าผลลัพธ์สุดท้ายเป็นอัตราส่วน และถ้านำ 394 มาหาร 9 ก็จะได้ 43.77777… จริง

การพิสูจน์ว่า -0.661661661… สามารถเปลี่ยนรูปเป็นอัตราส่วนได้ ใช้หลักการเดียวกับ 43.77777… เพียงแต่จำนวนหลักวนซ้ำใน Fractional Part ของ -0.661661661… คือ 661 ซึ่งมีสามหลัก ฉะนั้น ในสมการที่ 2 จึงคูณ 1000 ทั้งสองข้างแทน

2 thoughts on “พิสูจน์ว่าจำนวนมีทศนิยมหลักไม่จำกัดแบบวนซ้ำเป็น Rational Number

ใส่ความเห็น

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  เปลี่ยนแปลง )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  เปลี่ยนแปลง )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  เปลี่ยนแปลง )

Connecting to %s