ประเภทของจำนวน\Classification of Numbers

ก่อนที่จะจำแนกประเภทของจำนวนควรทำความเข้าใจองค์ประกอบและคำศัพท์ของตัวเลขกันก่อน ดังนี้

1. เครื่องหมายแสดงจำนวนบวกลบ เรียกว่า Sign
2. จุดทศนิยม เรียกว่า Decimal Point
3. จำนวนหน้าจุดทศนิยม เรียกว่า Whole Part
4. จำนวนหลังจุดทศนิยม เรียกว่า Fraction Part

จำนวนในทางคณิตศาสตร์ถูกจัดประเภทกว้างๆได้ดังนี้

Natural Number (จำนวนธรรมชาติ)

จำนวนธรรมชาติ คือ จำนวนที่ใช้นับสิ่งของ เช่น ดินสอ 3 แท่ง, รถ 52 คัน หรือ จำนวนที่ใช้บอกลำดับ อวยชัยสอบได้ที่ 2 ของห้อง เป็นต้น สังเกตได้ว่าจำนวนในตัวอย่างเหล่านี้ ไม่ระบุ Fraction Part หรือเครื่องหมายลบ เช่นไม่มีใครพูดว่า รถ 52.7 คัน หรือ รถ -52 คัน

ด้วยเหตุนี้จำนวนธรรมชาติจึงเป็นจำนวนบวกที่ไม่มีส่วนทศนิยมหรือจำนวนติดลบ

แหล่งอ้างอิงหลายแห่ง รวม 0 เป็นจำนวนธรรมชาติแต่บางแหล่งก็ไม่ แต่ถ้าเอาตามมาตรฐานอุตสาหกรรม ISO 80000-2 ที่ว่าด้วยมาตรฐานเกี่ยวกับปริมาณและหน่วยวัด ได้จัดให้ 0 เป็นจำนวนธรรมชาติด้วย

สัญลักษณ์ที่ใช้แทนสมาชิกจำนวนธรรมชาติคือตัวเอ็นใหญ่ (N) และ สมาชิกของ N คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Integer Number (จำนวนเต็ม)

จำนวนเต็มคือจำนวนที่มีแต่ส่วน Whole Part ที่อาจมีเครื่องหมายบวกหรือลบ แต่ยังคงไม่มี Fraction Part หรือ อาจจะบอกได้ว่า จำนวนเต็มคือจำนวนธรรมชาติที่มีความเป็นไปได้ทั้งทางบวกและลบ

สิ่งที่น่าสนใจสำหรับจำนวนเต็มคือจำนวนติดลบ ซึ่งไม่สามารถเห็นได้ในเชิงรูปธรรม เช่น อวยชัยมีดินสอ -3 แท่ง ซึ่งหากไม่มีใครอธิบายเพิ่มเติมก็คงไม่มีใครเข้าใจว่าหมายถึงอะไร แต่ถึงกระนั้นก็มีหลักฐานว่ามีการใช้จำนวนติดลบกันมานานแล้ว หลักฐานที่เก่าแก่ที่สุดของการใช้จำนวนติดลบคือหนังสือว่าด้วยการคำนวณของจีนชื่อว่า “Jiuzhang Suanshu” หรือแปลไทยได้ว่า “เก้าบทของศาสตร์แห่งการคำนวณ” ไม่มีชื่อผู้เขียนและไม่รู้ว่าเขียนขึ้นมาเมื่อใด แต่จากหน่วยวัดที่ใช้ในหนังสือทำให้คาดการณ์กันว่าเขียนขึ้น 200 ปีก่อนคริสต์ศักราช หนังสือเล่มนี้กล่าวถึงวิธีการคำนวณพื้นฐาน การบวกลบคูณหาร การหาพื้นที่ และอีกมากมาย หนังสือเล่มนี้ยังพูดถึงความเป็นไปได้ของผลลัพธ์ที่ได้จากการคำนวณด้วยว่าอาจเป็นจำนวนติดลบ

ในโลกของความเป็นจริง จำนวนลบต้องมีการบอกความหมายกำกับ ซึ่งโดยมากก็มักจะมีความหมายตรงข้ามกับจำนวนบวก เช่น ในอินเดียคริสต์ศักราชที่ 600 จำนวนบวกใช้แทนสินทรัพย์ที่ตัวเองถืออยู่ จำนวนลบใช้แทนหนี้ หรือ ในวิชาฟิสิกส์ เครื่องหมายบวกลบใช้แทนทิศทางที่ตรงข้ามกัน เช่น บวกใช้แทนการเคลื่อนที่ไปหน้า ลบใช้แทนการเคลื่อนที่ไปข้างหลัง เป็นต้น

สัญลักษณ์ที่ใช้แทนสมาชิกจำนวนเต็มคือตัวแซดใหญ่ (Z) และ สมาชิกของ Z คือ …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …

Rational Number (จำนวนอัตราส่วน ชื่อทางการ จำนวนตรรกยะ)

จำนวนอัตราส่วน คือ จำนวนตัวเลขใดที่สามารถพิสูจน์ได้ว่าเขียนในรูปแบบของอัตราส่วนได้หรือมีลักษณะดังที่เขียนไว้ข้างล่าง

โดยที่ a และ b เป็นเลขจำนวนเต็ม (Integer) และ b ต้องไม่เท่ากับศูนย์

ฉะนั้น 5, 43.543, -0.689 จึงจัดเป็นจำนวนอัตราส่วนเพราะสามารถเขียนในรูปแบบอัตราส่วนได้ ดังที่เขียนไว้ข้างล่าง

แต่ไม่ใช่จำนวนที่มีทศนิยมทุกตัวจะเป็นจำนวนอัตราส่วน จำนวนที่มีทศนิยมหลักไม่จำกัดแบบไม่มีวนซ้ำ เช่น 0.652024721… ไม่จัดว่าเป็นจำนวนอัตราส่วน รวมถึงค่าพาย (π) แต่จำนวนที่มีทศนิยมหลักไม่จำกัดแบบวนซ้ำ เช่น 123.166166… จัดว่าเป็นจำนวนอัตราส่วน

ข้อดีของการรู้ว่าจำนวนเป็นจำนวนอัตราส่วนคือการคำนวณที่ง่ายและมีประสิทธิภาพมากขึ้น เช่น 43.77777… คูณด้วย 18 จะไม่สามารถนำมาคูณได้ แต่ 43.77777… จัดเป็นจำนวนอัตราส่วนและถูกพิสูจน์ว่ามีค่าเท่ากับ 394/9 ซึ่งทำให้นำมาคูณกับ 18 ได้ ผลลัพธ์คือ 788

สัญลักษณ์ที่ใช้แทนสมาชิกจำนวนอัตราส่วนคือตัวคิวใหญ่ (Q)

Real Number (จำนวนจริง)

จำนวนจริงคือจำนวนที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่อยู่บนเส้นจำนวน ในโลกแห่งความเป็นจริงจำนวนจริงคือจำนวนที่อาจเป็นไปได้ทั้งหมดที่ได้จากการวัด

สัญลักษณ์ที่ใช้แทนสมาชิกจำนวนจริงคือตัวอาร์ใหญ่ (R)

Complex Number (จำนวนเชิงซ้อน)

จำนวนเชิงซ้อนคือจำนวนจริงรวมไป Imaginary Number หรือจำนวนจินตภาพ โดยจำนวนจินตภาพนั้นเป็นจำนวนที่ไม่สามารถวัดได้ในโลกของความเป็นจริง แต่เกิดขึ้นได้จากการคำนวณทางคณิตศาสตร์ เป็นจำนวนซึ่งไม่สามารถเขียนเป็นจำนวนหนึ่งตัวได้ ต้องมีตัวดำเนินการ (Operator) ติดไว้เสมอเพราะไม่สามารถทำอะไรต่อได้แล้ว เช่น รูทของ -1 เป็นต้น

สัญลักษณ์ที่ใช้แทนสมาชิกจำนวนเชิงซ้อนคือตัวซีใหญ่ (C)

ความสัมพันธ์ของแต่ละประเภท

จำนวนธรรมชาติ (N) = ศูนย์และรวมสมาชิกจำนวนเต็มบวก

จำนวนเต็ม (Z) = N และรวมสมาชิกจำนวนเต็มลบ

จำนวนอัตราส่วน (Q) = Z และรวมสมาชิกจำนวนทศนิยมจำกัดหลักและรวมสมาชิกจำนวนทศนิยมไม่จำกัดหลักแบบวนซ้ำ

จำนวนจริง (R) = Q และรวมสมาชิกจำนวนทศนิยมไม่จำกัดหลักแบบไม่วนซ้ำ

จำนวนเชิงซ้อน (C) = Rและรวมสมาชิกจำนวนจินตภาพ